Факторный анализ. Экономический анализ. Анна сергеевна литвинюкэкономический анализ Рассчитать влияние факторов обобщающий показатель

Все явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности. Одни из них непосредственно связаны между собой, другие косвенно. Отсюда важным методологическим вопросом в экономическом анализе является изучение и измерение влияния факторов на величину исследуемых экономических показателей.

Под экономическим факторным анализом понимается постепенный переход от исходной факторной системы к конечной факторной системе, раскрытие полного набора прямых, количественно измеримых факторов, оказывающих влияние на изменение результативного показателя.

По характеру взаимосвязи между показателями различают методы детерминированного и стохастического факторного анализа.

Детерминированный факторный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер.

Основные свойства детерминированного подхода к анализу:
· построение детерминированной модели путем логического анализа;
· наличие полной (жесткой) связи между показателями;
· невозможность разделения результатов влияния одновременно действующих факторов, которые не поддаются объединению в одной модели;
· изучение взаимосвязей в краткосрочном периоде.

Различают четыре типа детерминированных моделей:

Аддитивные модели представляют собой алгебраическую сумму показателей и имеют вид

К таким моделям, например, относятся показатели себестоимости во взаимосвязи с элементами затрат на производство и со статьями затрат; показатель объема производства продукции в его взаимосвязи с объемом выпуска отдельных изделий или объема выпуска в отдельных подразделениях.

Мультипликативные модели в обобщенном виде могут быть представлены формулой

Примером мультипликативной модели является двухфакторная модель объема реализации

где Ч - среднесписочная численность работников;

CB - средняя выработка на одного работника.

Кратные модели:

Примером кратной модели служит показатель срока оборачиваемости товаров (в днях) . Т ОБ.Т :

где З Т - средний запас товаров; О Р - однодневный объем реализации.

Смешанные модели представляют собой комбинацию перечисленных выше моделей и могут быть описаны с помощью специальных выражений:

Примерами таких моделей служат показатели затрат на 1 руб. товарной продукции, показатели рентабельности и др.

Для изучения зависимости между показателями и количественного измерения множества факторов, повлиявших на результативный показатель, приведем общие правила преобразования моделей с целью включения новых факторных показателей.

Для детализации обобщающего факторного показателя на его составляющие, которые представляют интерес для аналитических расчетов, используют прием удлинения факторной системы.

Если исходная факторная модель , а , то модель примет вид .

Для выделения некоторого числа новых факторов и построения необходимых для расчетов факторных показателей применяют прием расширения факторных моделей. При этом числитель и знаменатель умножаются на одно и тоже число:

Для построения новых факторных показателей применяют прием сокращения факторных моделей. При использовании данного приема числитель и знаменатель делят на одно и то же число.

Детализация факторного анализа во многом определяется числом факторов, влияние которых можно количественные оценить, поэтому большое значение в анализе имеют многофакторные мультипликативные модели. В основе их построения лежат следующие принципы:
· место каждого фактора в модели должно соответствовать его роли в формировании результативного показателя;
· модель должна строиться из двухфакторной полной модели путем последовательного расчленения факторов, как правило качественных, на составляющие;
· при написании формулы многофакторной модели факторы должны располагаться слева направо в порядке их замены.

Построение факторной модели – первый этап детерминированного анализа. Далее определяют способ оценки влияния факторов.

Способ цепных подстановок заключается в определении ряда промежуточных значений обобщающего показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на отчетные. Данный способ основан на элиминировании. Элиминировать – значит устранить, исключить воздействие всех факторов на величину результативного показателя, кроме одного. При этом исходя из того, что все факторы изменяются независимо друг от друга, т.е. сначала изменяется один фактор, а все остальные остаются без изменения. потом изменяются два при неизменности остальных и т.д.

В общем виде применение способа цепных постановок можно описать следующим образом:

где a 0 , b 0, c 0 - базисные значения факторов, оказывающих влияние на обобщающий показатель у;

a 1 , b 1 , c 1 - фактические значения факторов;

y a , y b , - промежуточные изменения результирующего показателя, связанного с изменением факторов а, b, соответственно.

Общее изменение D у=у 1 –у 0 складывается из суммы изменений результирующего показателя за счет изменения каждого фактора при фиксированных значениях остальных факторов:

Рассмотрим пример:

Таблица 2

Исходные данные для факторного анализа

Показатели	Условные обозначения	Базисные значения	Фактические значения	Изменение
Показатели	Условные обозначения	Базисные значения	Фактические значения	Абсолютное (+,-)	Относительное (%)
Объем товарной продукции, тыс. руб.
Количество работников, чел
Выработка на одного работающего,

Анализ влияния на объем товарной продукции количества работников и их выработки проведем описанным выше способом на основе данных табл.2. Зависимость объема товарной продукции от данных факторов можно описать с помощью мультипликативной модели:

Тогда влияние изменения величины количества работников на обобщающий показатель можно рассчитать по формуле:

Таким образом, на изменение объема товарной продукции положительное влияние оказало изменение на 5 человек численности работников, что вызвало увеличение объема продукции на 730 тыс. руб. и отрицательное влияние оказало снижение выработки на 10 тыс. руб., что вызвало снижение объема на 250 тыс. руб. Суммарное влияние двух факторов привело к увеличению объема продукции на 480 тыс. руб.

Преимущества данного способа: универсальность применения, простота расчетов.

Недостаток метода состоит в том, что, в зависимости от выбранного порядка замены факторов, результаты факторного разложения имеют разные значения. Это связано с тем, что в результате применения этого метода образуется некий неразложимый остаток, который прибавляется к величине влияния последнего фактора. На практике точностью оценки факторов пренебрегают, выдвигая на первый план относительную значимость влияния того или иного фактора. Однако существуют определенные правила, определяющие последовательность подстановки:
· при наличии в факторной модели количественных и качественных показателей в первую очередь рассматривается изменение количественных факторов;
· если модель представлена несколькими количественными и качественными показателями, последовательность подстановки определяется путем логического анализа.

Под количественным факторами при анализе понимают те, которые выражают количественную определенность явлений и могут быть получены путем непосредственного учета (количество рабочих, станков, сырья и т.д.).

Качественные факторы определяют внутренние качества, признаки и особенности изучаемых явлений (производительность труда, качество продукции, средняя продолжительность рабочего дня и т.д.).

Способ абсолютных разниц является модификацией способа цепной подстановки. Изменение результативного показателя за счет каждого фактора способом разниц определяется как произведение отклонения изучаемого фактора на базисное или отчетное значение другого фактора в зависимости от выбранной последовательности подстановки:

Способ относительных разниц применяется для измерения влияния факторов на прирост результативного показателя в мультипликативных и смешанных моделях вида у = (а – в) . с. Он используется в случаях, когда исходные данные содержат определенные ранее относительные отклонения факторных показателей в процентах.

Для мультипликативных моделей типа у = а . в . с методика анализа следующая:

· находят относительное отклонение каждого факторного показателя:

· определяют отклонение результативного показателя у за счет каждого фактора

Пример. Воспользовавшись данными табл. 2, проведем анализ способом относительных разниц. Относительные отклонения рассматриваемых факторов составят:

Рассчитаем влияние на объем товарной продукции каждого фактора:

Результаты расчетов те же, что и при использовании предыдущего способа.

Интегральный метод позволяет избежать недостатков, присущих методу цепной подстановки, и не требует применения приемов по распределению неразложимого остатка по факторам, т.к. в нем действует логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок. Интегральный метод позволяет достигнуть полного разложения результативного показателя по факторам и носит универсальный характер, т.е. применим к мультипликативным, кратным и смешанным моделям. Операция вычисления определенного интеграла решается с помощью ПЭВМ и сводится к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы.
1. Какие задачи управления решаются посредством экономического анализа?
2. Охарактеризуйте предмет экономического анализа.
3. Какие отличительные особенности характеризуют метод экономического анализа?
4. Какие принципы лежат в основе классификации приемов и способов анализа?
5. Какую роль в экономическом анализе выполняет способ сравнения?
6. Объясните способы построения детерминированных факторных моделей.
7. Опишите алгоритм применения наиболее простых способов детерминированного факторного анализа: способа цепных подстановок, способа разниц.
8. Охарактеризуйте достоинства и опишите алгоритм применения интегрального метода.
9. Приведите примеры задач и факторных моделей, к которым применяется каждый из методов детерминированного факторного анализа.

Это может быть интересно (избранные параграфы):

В статистике, планировании и анализе хозяйственной деятельности основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике изменений обобщающих показателей являются индексные модели. Индексный метод – один из приемов элиминирования. Основывается на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнении плана, выражающих отношение фактического уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде (или к плановому, или по другому объекту). Любой индекс исчисляется сопоставлением соизмеряемой (отчетной) величины с базисной. Индексы, выражающие соотношение непосредственно соизмеряемых величин, называются индивидуальными, а характеризующие соотношения сложных явлений – групповыми, или тотальными.

Статистика оперирует различными формами индексов (агрегатная, арифметическая, гармоническая и др.), используемыми в аналитической работе.

Агрегатный индекс является основной формой любого общего индекса; его можно преобразовать как в средний арифметический, так и в средний гармонический индексы. С помощью агрегатных индексов можно выявить влияние различных факторов на изменение уровня результативных показателей в мультипликативных и кратных моделях.

Корректность определения размера каждого фактора зависит от:

1) количества знаков после запятой (не менее четырех);

2) количества самих факторов (связь обратно пропорциональна).

Принципы построения индексов: изменение одного фактора при неизменном значении всех остальных, при этом если обобщающий экономический показатель представляет собой произведение количественного (объемного) и качественного показателей-факторов, то при определении влияния количественного фактора качественный показатель фиксируется на базисном уровне, а при определении влияния качественного фактора количественный показатель фиксируется на уровне отчетного периода.

Пусть Y = а?Ь?с?d. Тогда:

При этом: l Y =l a ?l b ?l c ?l d .

Индексный метод позволяет провести разложение по факторам не только относительных, но и абсолютных отклонений обобщающего показателя. В этом случае влияние отдельных факторов определяется с помощью разности между числителем и знаменателем соответствующих индексов, т. е. также при расчете влияния одного фактора элиминируется влияние другого:

Пусть Y = а?Ь, где а – количественный фактор, ab – качественный. Тогда:

a 1 ?b 0 -a 0 ?b 0 – абсолютный прирост результирующего показателя за счет фактора а;

a 1 ?b 1 -a 1 ?b 0 – абсолютный прирост результирующего показателя за счет фактора b;

a 1 ?b 1 -a 0 ?b 0 – абсолютный прирост результирующего показателя за счет влияния всех факторов.

Данный принцип разложения абсолютного прироста (отклонения) обобщающего показателя по факторам пригоден для случая, когда число факторов равно двум (один из них количественный, другой – качественный), а анализируемый показатель представлен как их произведение.

Теория индексов не дает общего метода разложения абсолютных отклонений обобщающего показателя по факторам при числе факторов более двух. Для решения этой задачи используется метод цепных подстановок.

5.3. методы количественного анализа влияния факторов на изменение результатного показателя

В анализе хозяйственной деятельности, который иногда называют бухгалтерским анализом, преобладают методы детерминированного моделирования факторных систем, которые дают точную (а не с некоторой вероятностью, характерной для стохастического моделирования), сбалансированную характеристику влияния факторов на изменение результатного показателя. Но достигается эта сбалансированность разными методами. Рассмотрим основные методы детерминированного факторного анализа.

Метод дифференциального исчисления. Теоретической основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике результатного обобщающего показателя является дифференцирование.

В методе дифференциального исчисления предполагается, что общее приращение функции (результирующего показателя) разлагается на слагаемые, где значение каждого.из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Рассмотрим задачу нахождения влияния факторов на изменение результирующего показателя методом дифференциального исчисления на примере функции от двух переменных.

Пусть задана функция z -fix, у); тогда, если функция дифференцируема, ее приращение можно выразить как

Дг = - Дх4--Ду+0(ч/дх2+Д;;2), 5х 8у У

где Az = (zi -Zo) изменение функции; Ах = (*! х0) изменение первого фактора; Ау = {уі -у0) изменение второго фактора;

0(-/ Дх +&у2) - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

Эта величина в расчетах отбрасывается (ее часто обозначают г - эпсилон).

Влияние фактора х и у на изменение z определяется в этом случае как

AZx =-Ах и AZv =-уАу"

а их сумма представляет собой главную, линейную относительно приращения фактора часть приращения дифференцируемой

функции. Следует отметить, что параметр О (VA*2 + Ау2) мал при

достаточно малых изменениях факторов и его значения могут существенно отличаться от нуля при больших изменениях факторов. Так как этот метод дает однозначное разложение влияния факторов на изменение результирующего показателя, то это раз

ложение может привести к значительным ошибкам в оценке влияния факторов, поскольку в ней не учитывается величина оста-

Рассмотрим применение метода на примере конкретной

функции: Пусть известны начальные и конечные значения

факторов и результирующего показателя тогда влияние факторов на изменение результирующего показателя определяется соответственно формулами

Легко показать, что остаточный член в линейном разложении функции z ху равен АхАу. Действительно, общее изменение функции составило - а разность между общим изменением (Azx + Azy) и Az вычисляется по формуле

Дг Azx Azy = (xlyi ХаУв) у0Ах х^Ау =

УМ) -(*оУі -*оУо) =*і (У. Уо) -хо (Уі ~Уо) =

" (*Уі ~ JCqVo) " ki ~ хо) Щ (Уі " Щ = = (х#} у^}) (х0уі Хоу0) ~щЩ-~ у0) х0 (уі Уо) ~~ = (Уі У0) ^ хц) АхАу.

Таким образом, в методе дифференциального исчисления так называемый неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка метода дифференцирования, просто отбрасывается. В этом состоит «неудобство» дифференцирования для экономических расчетов, в которых, как правило, требуется точный баланс изменения результатного показателя и алгебраической суммы влияния всех факторов.

Индексный метод определения факторов на обобщающий показатель. В статистике, планировании и анализе хозяйственной деятельности основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике изменений обобщающих показателей являются индексные модели.

Так, изучая зависимость объема продаж продукции на предприятии от изменений численности работающих и производительности их труда, можно воспользоваться следующей системой

взаимосвязанных индексов:

где./* - общий индекс изменения объема продаж продукции;

Г - индивидуальный (факторный) индекс изменения численности работающих;

1° факторный индекс изменения производительности труда работающих;

D, Dy - среднегодовая выработка продукции на одного работающего соответственно в базисном и отчетном периодах; RQ, RX среднегодовая численность персонала соответственно в базисном

и отчетном периодах.

Приведенные формулы показывают, что общее относительное изменение объема продукции образуется как произведение относительных изменений двух факторов: численности работающих и производительности их труда. Формулы отражают принятую в статистике практику построения факторных индексов, суть которой можно сформулировать следующим образом.

Если обобщающий экономический показатель представляет собой произведение количественного (объемного) и качественного показателей-факторов, то при определении влияния количественного фактора качественный показатель фиксируется на базисномуров-не, а при определении влияния качественного фактора количественный показатель фиксируется науровне отчетного периода.

Индексный метод позволяет провести разложение по факторам не только относительных, но и абсолютных отклонений обобщающего показателя.

В нашем примере формула (1) позволяет вычислить величину абсолютного отклонения (прироста) обобщающего показателя - объема продукции предприятия:

длг=ід,*і-ІЗД).

где AN- абсолютный прирост объема продукции в анализируемом периоде.

Это отклонение образовалось под влиянием изменений численности работающих и производительности их труда. Чтобы определить, какая часть общего изменения объема продукции дос

тигнута за счет изменения каждого из факторов в отдельности, необходимо при расчете влияния одного из них элиминировать влияние другого фактора.

Прирост объема продукции за счет изменения производительности труда работающих определяется аналогично по второму сомножителю:

Формула (2) соответствует данному условию. В первом сомножителе элиминировано влияние производительности труда, во втором - численности работающих, следовательно, прирост объема продукции за счет изменения численности работающих определяется как разность между числителем и знаменателем первого сомножителя:

Изложенный принцип разложения абсолютного прироста (отклонения) обобщающего показателя по факторам пригоден для случая, когда число факторов равно двум (один из них количественный, другой качественный), а анализируемый показатель представлен как их произведение.

Теория индексов не дает общего метода разложения абсолютных отклонений обобщающего показателя по факторам при числе факторов более двух и если их связь не является мультипликативной.

Метод цепных подстановок (метод разниц). Этот метод заключается в получении ряда промежуточных значений обобщающего показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на фактические. Разность двух промежуточных значений обобщающего показателя в цепи подстановок равна изменению обобщающего показателя, вызванного изменением соответствующего фактора.

В общем виде имеем следующую систему расчетов по методу цепных подстановок:

=/{афф$йа...) - базисное значение обобщающего показателя; факторы

Уо =/(в|А()С(}Д?д...) - промежуточное значение; - промежуточное значение;

промежуточное значение;

фактическое значение.

Общее абсолютное отклонение обобщающего показателя определяется по формуле

Общее отклонение обобщающего показателя раскладывается на факторы:

за счет изменения фактора а -

Ш ^Уа-Уо -/(eoVo4>->;

за счет изменения фактора Ъ -

ЬУь-Уь-Уо -fiafactftQ...) -Щфщ^Лі "

Метод цепных подстановок, как и индексный, имеет недостатки, о которых следует знать при его применении. Во-первых, результаты расчетов зависят от последовательности замены факторов; во-вторых, активная роль в изменении обобщающего показателя необоснованно часто приписывается влиянию изменения качественного фактора.

Например, если исследуемый показатель z имеет вид функции то его изменение за период выражается формулой

где Az приращение обобщающего показателя; Ах, Ау приращение факторов; х№ у0 - базисные значения факторов;

соответственно базисный и отчетный периоды времени.

Группируя в этой формуле последнее слагаемое с одним из первых, получаем два различных варианта цепных подстановок. Первый вариант:

Второй вариант:

Az = х^у + (у0 + Ау) Ах = ХдАу + у}АХ.

На практике обычно применяется первый вариант при условии, что х - качественный фактор, а у - количественный.

В этой формуле выявляется влияние качественного фактора на изменение обобщающего показателя, т. е. выражение (у0 + Ау)Ах более активно, поскольку величина его устанавливается умножением приращения качественного фактора на отчетное значение количественного фактора. Тем самым весь прирост обобщающего показателя за счет совместного изменения факторов приписывается влиянию только качественного фактора.

Таким образом, задача точного определения роли каждого фактора в изменении обобщающего показателя обычным методом цепных подстановок не решается.

В этой связи особую актуальность приобретает поиск путей совершенствования точного однозначного определения роли отдельных факторов в условиях внедрения в экономическом анализе сложных экономико-мачематических моделей факторных систем.

Стоит задача нахождения рациональной вычислительной процедуры (метода факторного анализа), при которой устраняются условности и допущения и достигается получение однозначного результата величин влияния факторов.

Метод простого прибавления неразложимого остатка. Не находя достаточно полного обоснования, что делать с остатком, в практике экономического анализа стали использовать прием прибавки неразложимого остатка к качественному или количественному (основному или производному) фактору, а также делить этот остаток между факторами поровну. Последнее предложение теоретически обосновано С. М. Югенбургом 1104, с. 66 - 831.

С учетом изложенного можно получить следующий набор формул.

Первый вариант

&ZX ^&ху0 + АхАу + Да"О"о + Ау) = Аху^;

Втппг>™ ІЇЯПИЯНТ

Д?Л = AxyQ; Azv = Аух$ + АхАу - Ay (xQ + Ах) = Аух^.

Третий вариант

Существуют и другие предложения, которые используются в практике экономического анализа редко. Например, отнести АхАу ко второму слагаемому с коэффициентом, равным

Ахуо+Аухц

А остаток присоединить к первому

слагаемому. Эту методику защищал В. Е. Адамов. Он считал, что «несмотря на все возражения, - единственно практически неприемлемым, хотя и основанным на определенных соглашениях о выборе весов индексов, будет метод взаимосвязанного изучения влияния факторов с использованием в индексе качественного показателя весов отчетного периода, а в индексе объемного показателя - весов базисного периода» .

Описанный метод хотя и снимает проблему «неразложимого остатка», но связан с условием определения количественных и качественных факторов, что усложняет задачу при использовании больших факторных систем. Одновременно разложение общего прироста результатного показателя цепным методом зависит от последовательности подстановки. В этой связи получить однозначное количественное значение отдельных факторов без соблюдения дополнительных условий не представляется возможным.

Метод взвешенных конечных разностей. Этот метод состоит в том, что величина влияния каждого фактора определяется как по первому, так и по второму порядку подстановки, затем результат суммируется и от полученной суммы берется средняя величина, дающая единый ответ о значении влияния фактора. Если в расчете участвует больше факторов, то их значения рассчитываются по всем возможным подстановкам.

Опишем этот метод математически, используя обозначения, принятые выше.

Как видно, метод взвешенных конечных разностей учитывает все варианты подстановок. Одновременно при усреднении нельзя получить однозначное количественное значение отдельных факторов. Этот метод весьма трудоемкий и по сравнению с предыдущим методом усложняет вычислительную процедуру, так как приходится перебирать все возможные варианты подстановок. В своей основе метод взвешенных конечных разностей идентичен (только для двухфакторной мультипликативной модели) методу простого прибавления неразложимого остатка при делении этого остатка между факторами поровну. Это подтверждается следующим преобразованием формулы:

Аналогично

Следует заметить, что с увеличением количества факторов, а значит, и количества подстановок, описанная идентичность методов не подтверждается.

Логарифмический метод. Этот метод, описанный В. Федоровой и Ю. Егоровым , состоит в том, что достигается логарифмически пропорциональное распределение остатка по двум искомым факторам. В этом случае не требуется установления очередности действия факторов.

Математически этот метод описывается следующим образом.

Факторную систему z - ху можно представить в виде Igz = lgx + lgy, тогда

где Щ = lgx{ + ]g jv Igzo = IgXQ + 1ЩРазделив обе части формулы на |g-^- и умножив на Az,

Выражение (4) для Az представляет собой не что иное, как его логарифмическое пропорциональное распределение по двум искомым факторам. Именно поэтому авторы такого подхода назвали этот метод «логарифмическим методом разложения приращения Az на факторы». Особенность логарифмического метода разложения состоит в том, что он позволяет определить безостаточное влияние не только двух, но и многих изолированных факторов на изменение результатного показателя, не требуя установления очередности действия.

В более общем виде этот метод был описан еще А. Хумалом, который писал: «Такое разделение прироста произведения может быть названо нормальным. Название оправдывается тем, что полученное правило разделения остается в силе при любом числе сомножителей, а именно: прирост произведения разделяется между переменными сомножителями пропорционально лога-

рифмам их коэффициентов изменения» . Действительно, в случае наличия большего числа сомножителей в анализируемой мультипликативной модели факторной системы (например, z суммарное приращение результативного показателя составит:

Разложение прироста на факторы достигается за счет ввода коэффициента к, который в случае равенства нулю или взаимного погашения факторов не позволяет использовать указанный метод. Формулу (4) для Лг можно записать иначе:

М = & + Му =■ Mkx + (5)

В таком виде эта формула (5) в настоящее время используется как классическая, описывающая логарифмический метод анализа. Из этой формулы следует, что общее приращение результатного показателя распределяется по факторам пропорционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму результатного показателя. При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный mN или десятичный IgN).

Основным недостатком логарифмического метода анализа является то, что он не может быть «универсальным», его нельзя применять при анализе любого вида моделей факторных систем. Если при анализе мультипликативных моделей факторных систем при использовании логарифмического метода достигается получение точных величин влияния факторов (в случае, когда Дг = 0), то при таком же анализе кратных моделей факторных систем получение точных величин влияния факторов не удается.

Так, если краткую модель факторной системы представить в виде

тогда аналогичную формулу (5) можно применять к анализу кратных моделей факторных систем, т. е.

Az = Щ + My + Aztx + Дг*гг

гае $ --к; го

Таким подходом воспользовались Д. И. Вайншенкер и В. М. Иванченко при анализе выполнения плана по рентабельности . При определении величины прироста рентабельности за счет прироста прибыли они воспользовались коэффициентом к"х.

Не получив точного результата при последующем анализе, Д. И. Вайншенкер и В. М. Иванченко ограничились применением логарифмического метода лишь на первом этапе (при определении фактора Az"J. Последующие величины влияния факторов они получили при помощи пропорционального (структурного) коэффициента L, который представляет собой не что иное, как удельный вес прироста одного из факторов в общем приросте составляющих факторов. Математическое содержание коэффициента L идентично «способу долевого участия», описанному ниже.

Если в краткой модели факторной системы У

то при анализе этой модели получим:

&Z = Z Ц = Azx + Azy = Azx + AZtAZql

Azx ~Azkx =Az-Дгу = &z-Azxi

Следует заметить, что последующее расчленение фактора Az"y методом логарифмирования на факторы Az"c и Az"q осуществить на практике не удается, так как логарифмический метод в своей сути предусматривает получение логарифмических отклонений, которые для расчленяющихся факторов будут примерно одинаковыми. Именно в этом и заключается недостаток описанного метода. Применение «смешанного» подхода в анализе кратных моделей факторных систем не решает проблемы получения изолированного значения из всего набора факторов, оказывающих влияние на изменение результатного показателя. Присутствие приближенных вычислений величин факторных изменений доказывает несовершенство логарифмического метода анализа.

Метод коэффициентов. Этот метод, описанный И. А. Белоб-жецким, основан на сопоставлении числового значения одних и тех же базисных экономических показателей при разных условиях .

И. А. Белобжецкий предложил определять величины влияния факторов следующим образом;

Описанный метод коэффициентов подкупает своей простотой, но при подстановке цифровых значений в формулы результат у И. А. Белобжецкого получился правильным лишь случайно. При точном выполнении алгебраических преобразований результат суммарного влияния факторов не совпадает с величиной изменения результатного показателя, полученного прямым расчетом.

Метод дробления приращений факторов. В анализе хозяйственной деятельности наиболее распространенными являются задачи прямого детерминированного факторного анализа. С экономической точки зрения к таким задачам относится проведение анализа выполнения плана или динамики экономических показателей, при котором рассчитывается количественное значение факторов, оказавших влияние на изменение результатного показателя. С математической точки зрения задачи прямого детерминированного факторного анализа представляют исследование функции нескольких переменных.

Дальнейшим развитием метода дифференциального исчисления явился метод дробления приращений факторных признаков, при котором следует вести дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые отрезки и осуществлять пересчет значений частных производных при каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчетов .

Отсюда приращение функции z -f{x, у) можно представить в общем виде следующим образом:

изменение функции

вследствие изменения фактора х на величину Ах хх xih

вследствие изменения фактора у на величину Ошибка е убывает с увеличением п.

Например, при анализе кратной модели факторной системы

вида z= - методом дробления приращений факторных призна-У

ков получим следующие формулы расчета количественных величин влияния факторов на результирующий показатель:

е можно пренебречь, если п будет достаточно велико. Метод дробления приращений факторных признаков имеет преимущества перед методом цепных подстановок. Он позволяет определить однозначно величину влияния факторов при заранее заданной точности расчетов, не связан с последовательностью подстановок и выбором качественных и количественных показателей-факторов. Метод дробления требует соблюдения условий диффе-ренцируемости функции в рассматриваемой области.

Интегральный метод оценки факторных влияний. Дальнейшим

логическим развитием метода дробления приращений факторных

признаков стал интегральный метод факторною анализа. Этот

метод, как и предыдущий, разработан и обоснован А. Д. Шереметом и его учениками Он основывается на суммировании

приращений функции, определенной как частная производная,

умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. При этом должны соблюдаться следующие условия:

непрерывная дифференцируемость функции, где в качестве аргумента используется экономический показатель;

функция между начальной и конечной точками элементарного периода изменяется по прямой Ге;

постоянство соотношения скоростей изменения факторов

В общем виде формулы расчета количественных величин влияния факторов на изменение результирующего показателя

где Ге прямолинейный ориентированный отрезок на плоскости (х, у), соединяющий точку (ха, у) с точкой (х1г у{).

В реальных экономических процессах изменение факторов в области определения функции может происходить не по прямолинейному отрезку Ге, а по некоторой ориентированной кривой Г. Но так как изменение факторов рассматривается за элементарный период (т. е. за минимальный отрезок времени, в течение которого хотя бы один из факторов получит приращение), то траектория Г определяется единственно возможным способом - прямолинейным ориентированным отрезком Ге, соединяющим начальную и конечную точки элементарного периода.

Выведем формулу для общего случая.

Задана функция изменения результирующего показателя от факторов

y=f(xx,x2, ...,хт),

где Xj - значение факторов; j - 1, 2,..., т;

у - значение результирующего показателя.

Факторы изменяются во времени, и известны значения каждого фактора в п точках, т. е. будем считать, что в пространстве задано л точек:

Мх = (х, х,...,Х1т),М2 = *m)>Mi = (А> Аг-^

где х| значениеу-го показателя в момент /.

Точки Мх и М2 соответствуют значениям факторов на начало и конец анализируемого периода соответственно.

Предположим, что показатель у получил приращение Ау за

анализируемый период; пусть функция у =f(xl, x2,..., хт) дифференцируема и у -fxj (хъ xj - частная производная от

этой функции по аргументу ху.

Допустим, L" - отрезок прямой, соединяющей две точки М" и M*1 (/" =1,2, п - Г). Тогда параметрическое уравнение этой прямой можно записать в виде

Xj =x"j + Xі) f.j = 1, 2,т; 0 < і < I.

Введем обозначение

АУі, =J/v{^i^2,...,xm)(i>c(; У =1,2,...,m.

Учитывая эти две формулы, интеграл по отрезку i можно записать следующим образом:

Элемент этой матрицы характеризует вкладу-го показателя в изменение результирующего показателя за период

Просуммировав значения таблицам матрицы, получим

следующую строку:

Значение любого /-го элемента этой строки характеризует вклад у-го фактора в изменение результирующего показателя Ау. Сумма всех Ау,(/ = 1,2,..., т) составляет полное приращение результирующего показателя.

Можно выделить два направления практического использования интегрального метода в решении задач факторного анализа.

К первому направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда не имеется данных об изменении факторов внутри анализируемого периода или от них можно абстрагироваться, т. е. имеет место случай, когда этот период следует рассматривать как элементарный. В этом случае расчеты следует вести по ориентированной прямой Ге. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать статическим, так как при этом участвующие в анализе факторы характеризуются неизменностью положения по отношению к одному фактору, постоянством условий анализа измеряемых факторов независимо от нахождения их в модели факторной системы. Соизмерение приращений факторов происходит по отношению к одному выбранному для этой цели фактору.

К статическим типам задач интегрального метода факторного анализа следует относить расчеты, связанные с анализом выполнения плана или динамики (если сравнение ведется с предшествующим периодом) показателей. В этом случае данных об изменении факторов внутри анализируемого периода нет.

Ко второму направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда имеется информация об изменениях факторов внутри анализируемого периода и она должна приниматься во внимание, т. е. случай, когда этот период в соответствии с имеющимися данными разбивается на ряд элементарных. При этом расчеты следует вести по некоторой ориентированной кривой Г, соединяющей точку (х0, у) и точку (хи у) для двухфакторной модели. Задача состоит в том, как определить истинный вид кривой Г, по которой происходило во времени движение факторов х у. тип задач факторного анализа можно условно именовать динамическим, так как при этом участвующие в анализе факторы изменяются в каждом разбиваемом на участки периоде.

К динамическим типам задач интегрального метода факторного анализа следует относить расчеты, связанные с анализом временных рядов экономических показателей. В этом случае можно подобрать, хотя и приближенно, уравнение, описывающее поведение анализируемых факторов во времени за весь рассматриваемый период. При этом в каждом разбиваемом элементарном периоде может быть принято индивидуальное значение, отличное от других.

Интегральный метод факторного анализа находит применение в практике компьютерного детерминированного экономического анализа.

Статический тип задач интегрального метода факторного анализа - наиболее разработанный и распространенный тип задач в детерминированном экономическом анализе хозяйственной деятельности управляемых объектов.

В сравнении с другими методами рациональной вычислительной процедуры интегральный метод факторного анализа устранил неоднозначность оценки влияния факторов и позволил получить наиболее точный результат. Результаты расчетов по интегральному методу существенно отличаются от того, что дает метод цепных подстановок или модификации последнего. Чем больше величина изменений факторов, тем разница значительнее.

Метод цепных подстановок (его модификации) в своей основе слабее учитывает соотношение величин измеряемых факторов. Чем больше разрыв между величинами приращений факторов, входящих в модель факторной системы, тем сильнее реагирует на это интегральный метод факторного анализа.

В отличие от цепного метода в интегральном методе действует логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок, что свидетельствует о его больших достоинствах. Этот метод объективен, поскольку исключает какие-либо предложения о роли факторов до проведения анализа. В отличие от других методов факторного анализа при интегральном методе соблюдается положение о независимости факторов.

Важной особенностью интегрального метода факторного анализа является то, что он дает общий подход к решению задач самого разного вида независимо от количества элементов, входящих в модель факторной системы, и формы связи между ними. Вместе с тем в целях упрощения вычислительной процедуры разложения приращения результирующего показателя на факторы следует придерживаться двух групп (видов) факторных моделей: мультипликативных и кратных. Вычислительная процедура интегрирования одна и та же, а получаемые конечные формулы расчета факторов различны.

Формирование рабочих формул интегрального метода для мультипликативных моделей. Применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов.

Появляется потребность в формулах расчета влияния факторов для множества видов моделей факторных систем (функций).

Выше было установлено, что любую модель конечной факторной системы можно привести к двум видам - мультипликативной и кратной. Это условие предопределяет то, что исследователь имеет дело с двумя основными видами моделей факторных систем, так как остальные модели - это их разновидности.

Операция вычисления определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования выполняется по стандартной программе, заложенной в память машины. В этой связи задача сводится лишь к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы.

Для облегчения решения задачи построения подынтегральных выражений в зависимости от вида модели факторной системы (мультипликативные или кратные) предложим матрицы исходных значений для построения подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы. Принцип, заложенный в матрицах, позволяет построить подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для любого набора элементов модели конечной факторной системы. В основном построение подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы - процесс индивидуальный, и в случае, когда число элементов структуры измеряется большим количеством, что в экономической практике является редкостью, исходят из конкретно заданных условий.

При формировании рабочих формул расчета влияния факторов в условиях применения ЭВМ пользуются следующими правилами, отражающими механику работы с матрицами: подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для мультипликативных моделей строятся путем произведения полного набора элементов значений, взятых по каждой строке матрицы, отнесенных к определенному элементу структуры факторной системы с последующей расшифровкой значений, приведенных справа и внизу матрицы исходных значений (табл. 5.2).

Приведем примеры построения поды нтефальных выражений.

Пример 1 (см. табл. 5.2).

Вид моделей факторной системы/=xyzq (мультипликативная модель).

Структура факторной системы

Формирование рабочих формул интегрального метода для кратных моделей. Подынтегральное выражение элементов структуры факторной системы для кратных моделей строится путем ввода под знак интеграла исходного значения, полученного на пересечении строк в зависимости от вида модели и элементов структуры факторной системы с последующей расшифровкой значений, приведенных справа и внизу матрицы исходных значений.

Пример 2 (табл. 5.3).

Ду+Дг + д# +

■ Л* + ^ + Az + ^ + Ap

4 о (y0 + zu +?о +кх)г

Лу + Az + Ад, &у Az Ад

- -; / =-; т =-; п =-Ч

Дх Лх Ах Ах

Последующее вычисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования выполняется при помощи ЭВМ по стандартной программе, в которой используется формула Симпсона, или вручную в соответствии с общими правилами интегрирования.

В случае отсутствия универсальных вычислительных средств предложим чаще всего встречающийся в экономическом анализе набор формул расчета элементов структуры для мультипликативных (табл. 5.4) и кратных (табл. 5.3) моделей факторных систем, которые были выведены в результате выполнения процесса интегрирования. Учитывая потребность наибольшего их упрощения, выполнена вычислительная процедура по сжатию формул, полученных после вычисления определенных интегралов (операции интегрирования).

Приведем примеры построения рабочих формул расчета элементов структуры факторной системы.

Пример 1 (см. табл. 5.4).

Вид модели факторной системы f=xyzq (мультипликативная модель).

Структура факторной системы

а/= щтт щрт =А*+4+4+ 4Рабочие формулы расчета элементов структуры факторной системы:

Вид модели факторной системы

Рабочие формулы расчета элементов структуры факторной системы

Использование рабочих формул значительно расширяется в детерминированном цепном анализе, при котором выявленный фактор может быть ступенчато разложен на составляющие как бы в другой плоскости анализа.

Примером детерминированного цепного факторного анализа может быть внутрихозяйственный анализ производственного объединения, при котором оценивается роль каждой производственной единицы в достижении лучшего результата в целом по объединению.

Интегральный метод дает точные оценки факторных влияний. Результаты расчетов не зависят от последовательности подстановок и последовательности расчета факторных влияний. Метод применим для всех видов непрерывно дифференцируемых функций, не требует предварительных знаний о том, какие факторы количественные, а какие качественные.

Для применения интегрального метода требуются знание основ дифференциального исчисления, техники интегрирования и умение находить производные различных функций. Вместе с тем в теории анализа хозяйственной деятельности для практических приложений разработаны конечные рабочие формулы интегрального метода для наиболее распространенных видов факторных зависимостей, что делает этот метод доступным для каждого аналитика. Приведем некоторые из них.

1. Факторная модель типа и =ху: Аи = Аих + Аиг

Ах-Ау, Аих=у0Ах+---;

Аиу=х0Ау +--; Аи = Аи + Аих.

2 , Дм = Аих + Диу + Дмг;

Дм =л:0 -ц -Ау + -л0 -Ay-Az + -Zq ■ Ах -Ay + -Ay ■ Az ■ Дх;

4. Факторная модель типа

Использование этих моделей позволяет выбрать факторы, целенаправленное изменение которых позволяет получить желаемое значение результатного показателя.

1. Метод цепных подстановок используется для исчисления влияния отдельных факторов на соответствующий совокупный показатель. Данный способ анализа используется лишь тогда, когда зависимость между изучаемыми явлениями имеет строго функциональный характер, когда она представляется в виде прямой или обратной пропорциональной зависимости. В этих случаях анализируемый совокупный показатель как функция нескольких переменных должен быть изображен в виде алгебраической суммы, произведения или частного от деления одних показателей на другие.

При расчетах необходимо придерживаться следующих правил:

· сначала учитывается влияние количественных, а затем качественных факторов;

· в первую очередь изменяется фактор первого уровня, затем второго, третьего и т.д.

В общем виде имеем следующую систему расчетов по методу цепных подстановок:

Базисное значение обобщающего показателя;

y 0 = f(a 1 b 0 c 0 d 0 …) - промежуточное значение;

у 0 = f(a 1 b 1 c 0 d 0 ...) - промежуточное значение;

у 0 = f(a 1 b l c ] d 0 ...) - промежуточное значение;

………………………………

у 0 = f(a l b ] c l d l ...) - фактическое значение.

Общее абсолютное отклонение обобщающего показателя определяется по формуле

Общее отклонение обобщающего показателя раскладывается на факторы:

· за счет изменения фактора а

· за счет изменения фактора b

Метод цепных подстановок имеет недостатки, о которых следует знать при его применении. Во-первых, результаты расчетов зависят от последовательности замены факторов; во-вторых, активная роль в изменении обобщающего показателя необоснованно часто приписывается влиянию изменения качественного фактора.

2. Индексный метод основан на сопоставлении фактического уровня изучаемого объекта в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде. Вместо значения в базисном периоде могут использоваться плановые величины.

Индексный метод используется для расчета влияния факторов в мультипликативных и кратных моделях.

Если обобщающий экономический показатель представляет собой произведение количественного (объемного) и качественного показателей-факторов, то при определении влияния количественного фактора качественный показатель фиксируется на базисном уровне, а при определении влияния качественного фактора количественный показатель фиксируется на уровне отчетного периода.

3. Метод абсолютных разниц. Применяется для расчета влияния факторов на результативный показатель в мультипликативных моделях и комбинированных моделях типа:

В соответствии с методом абсолютных разниц необходимо рассчитать абсолютный прирост каждого фактора. Затем величина влияния того или иного фактора определяется умножением его прироста на плановую величину факторов, находящихся в модели справа от него, и на фактическую величину факторов, находящихся слева.

Например, алгоритм расчета для мультипликативной модели типа имеет вид:

4. Метод относительных разниц. Используется в мультипликативных и комбинированных моделях. Сначала следует рассчитать относительный прирост каждого фактора. Далее величина влияния фактора на результативный показатель определяется умножением его относительного прироста на плановую величину результативного показателя.

Так, для мультипликативной модели типа относительные отклонения факторных показателей имеют вид:

Отклонение результативного показателя за счет влияния каждого фактора рассчитывается по формулам:

5. Метод дифференциального исчисления. Основан на формуле полного дифференциала. Для функции от двух переменных имеем полное приращение функции :

где - факторные приращения соответствующих переменных;

Частные производные;

Бесконечно малая величина более высокого порядка, чем . Эта величина в расчетах отбрасывается (ее часто обозначают ε.

Таким образом, влияние фактора х на обобщающий показатель определяется по формуле:

Общее приращение результирующего показателя разлагается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей производной на приращение фактора, по которому исчислена данная производная.

6. Интегральный метод факторного анализа. Он основан на суммировании приращения функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

При этом должны выполняться некоторые условия:

· подынтегральная функция должна быть непрерывной и дифференцируемой;

· скорость изменения факторов должна быть постоянной величиной, т.е. dx=const /

В основе интегрального метода лежит интеграл Эйлера-Лагранжа, устанавливающий связь между приращением функции и приращением факторных признаков.

Для функции имеем следующие формулы расчета факторных влияний:

Влияние фактора х;

Влияние фактора y.

Метод дифференциального исчисления.

Теоретической основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике результативного (обобщающего) показателя является дифференцирование.

В методе дифференциального исчисления предполагается, что общее приращение функций (результирующего показателя) различается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Рассмотрим задачу нахождения влияния факто-ров на изменение результирующего показателя методом дифференциального исчисления на примере функции от двух переменных. Пусть задана функция z = f(x, у), тогда, если функция дифференцируема, ее приращение можно выразить как

где – изменение функций;

Δx(x 1 - x o) – изменение первого фактора;

–изменение второго фактора;

–бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

Влияние факторов х и у на изменение z определяется в этой случае как

а их сумма представляет собой главную (линейную относительно приращения факторов) часть приращения дифференцируемой функции. Следует отметить, что параметр мал при достаточно малых изменениях факторов и его значения могут существенно отличаться от нуля при больших изменениях факторов. Т. к. этот метод дает однозначное разложение влияния факторов на изменение результирующего показателя, то это разложение может привести к значительным ошибкам в оценке влияния факторов, поскольку в ней не учитывается величина остаточного члена, т. е. .

Рассмотрим применение метода на примере конкретной функции: z = xy. Пусть известны начальные и конечные значения факторов и результирующего показателя (х 0 , у 0 , z 0 , x 1 , y 1 , z 1), тогда влияние факторов на изменение результирующего показателя определяется соответственно формулами:

Легко показать, что остаточный член в линейном разложении функции z = xy равен

Действительно, общее изменение функции составило , а разность между общим изменением ивычисляется по формуле

Таким образом, в методе дифференциального исчисления так называемый неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка метода дифференцирования, просто отбрасывается. В этом состоит «неудобство» дифференцирования для экономических расчетов, в которых, как правило, требуется точный баланс изменения результативного показателя и алгебраической суммы влияния всех факторов.

Индексный метод определения влияния факторов на обобщающий показатель.

Так, изучая зависимость объема выпуска продукции на предприятии от изменений численности работающих и производительности их труда, можно воспользоваться следующей системой взаимосвязанных индексов:

(5.2.1)

(5.2.2)

где I N – общий индекс изменения объема выпуска продукции;

I R – индивидуальный (факторный) индекс изменения численности работающих;

I D – факторный индекс изменения производительности труда работающих;

D 0 , D 1 – среднегодовая выработка товарной (валовой) продукции на одного работающего соответственно в базисном и отчетном периодах;

R 0 , R 1 – среднегодовая численность промышленно-производственного персонала соответственно в базисном и отчетном периодах.

Приведенные формулы показывают, что общее относительное изменение объема выпуска продукции образуется как произведение относительных изменений двух факторов: численности работающих и производительности их труда. Формулы отражают принятую в статистике практику построения факторных индексов, суть которой можно сформулировать следующим образом. Если обобщающий экономический показатель представляет собой произведение количественного (объемного) и качественного показателей-факторов, то при определении влияния количественного фактора качественный показатель фиксируется на базисном уровне, а при определении влияния качественного фактора количественный показатель фиксируется на уровне отчетного периода.

Индексный метод позволяет провести разложение по факторам не только относительных, но и абсолютных отклонений обобщающего показателя. В нашем примере формула (5.2.1) позволяет вычислять величину абсолютного отклонения (прироста) обобщающего показателя – объема выпуска товарной продукции предприятия:

где – абсолютный прирост объема выпуска товарной продукции в ана-лизируемом периоде.

Это отклонение образовалось под влиянием изменений численности работающих и производительности их труда. Чтобы определить, какая часть общего изменения объема выпуска продукции достигнута за счет изменения каждого из факторов в отдельности, необходимо при расчете влияния одного из них элиминировать влияние другого фактора.

Формула (5.2.2) соответствует данному условию. В первом сомножителе элиминировано влияние производительности труда, во втором – численности работающих, следовательно, прирост объема выпуска продукции за счет изменения численности работающих определяется как разность между числителем и знаменателем первого сомножителя:

Прирост объема выпуска продукции за счет изменения производительности труда работающих определяется аналогично по второму сомножителю:

Теория индексов не дает общего метода разложения абсолютных отклонений обобщающего показателя по факторам при числе факторов более двух.

Метод цепных подстановок.

Этот метод заключается, как уже доказывалось, в получении ряда промежуточных значений обобщающего показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на фактические. Разность двух промежуточных значений обобщающего показателя, в цепи подстановок равна изменению обобщающего, показателя, вызванного изменением соответствующего фактора.

В общем виде имеем следующую систему расчетов по методу цепных подстановок:

– базисное значение обобщающего показателя;

– промежуточное значение;

………………………………………………..

…………………………………………………

– фактическое значение.

Общее абсолютное отклонение обобщающего показателя определяется по формуле

Общее отклонение обобщающего показателя раскладывается на факторы:

за счет изменения фактора а

за счет изменения фактора b

Метод цепных подстановок, как и индексный, имеет недостатки, о которых следует знать при его применении. Во-первых, результаты расчетов зависят от последовательной замены факторов; во-вторых, активная роль в изменении обобщающего показателя необоснованно часто приписывается влиянию изменения качественного фактора.

Например, если исследуемый показатель z имеет вид функции , то его изменение за периодвыражается формулой

где Δz – приращение обобщающего показателя;

Δx, Δy – приращение факторов;

x 0 y 0 – базисные значения факторов;

t 0 t 1 – соответственно базисный и отчетный периоды времени.

Группируя в этой формуле последнее слагаемое с одним из первых, получаем два различных варианта цепных подстановок.

Первый вариант:

Второй вариант:

На практике обычно применяется первый вариант (при условии, что х – количественный фактор, а у – качественный).

В этой формуле выявляется влияние качественного фактора на изменение обобщающего показателя, т. е. выражение более активно связи получить однозначное количественное значение отдельных факторов без соблюдения дополнительных условий не представляется возможным.

Метод взвешенных конечных разностей.

Этот метод состоит в том, что величина влияния каждого фактора определяется как по первому, так и по второму порядку подстановки, затем результат суммируется и от полученной суммы берется средняя величина, дающая единый ответ о значении влияния фактора. Если в расчете участвует больше факторов, то их значения рассчитываются по всем возможным подстановкам. Опишем этот метод математически, используя обозначения, принятые выше.

Как видно, метод взвешенных конечных разностей учитывает все варианты подстановок. Одновременно при усреднении нельзя получить однозначное количественное значение отдельных факторов. Этот метод весьма трудоемкий и, по сравнению с предыдущим методом, усложняет вычислительную процедуру, т. к. приходится перебирать все возможные варианты подстановок. В своей основе метод взвешенных конечных разностей идентичен (только для двухфакторной мультипликативной модели) методу простого прибавления неразложимого остатка при делении этого остатка между факторами поровну. Это подтверждается следующим преобразованием формулы

Аналогично

Логарифмический метод.

Этот метод, состоит в том, что достигается логарифмически пропорциональное распределение остатка по двум искомым факторам. В этом случае не требуется установления очередности действия факторов.

Математически этот метод описывается следующим образом.

Факторную систему z = xy можно представить в виде lg z=lg x + lg y, тогда

Разделив обе части формулы на и умножив наΔz, получим

(*)

где

Выражение (*) для Δz представляет собой не что иное, как его логарифмическое пропорциональное распределение по двум искомым факторам. Именно поэтому авторы такого подхода назвали этот метод «логарифмическим методом разложения приращения Δz на факторы». Особенность логарифмического метода разложения состоит в том, что он позволяет определить безостаточное влияние не только двух, но и многих изолированных факторов на изменение результативного показателя, не требуя установления очередности действия.

В более общем виде этот метод был описан еще математиком А. Хумалом, который писал: «Такое разделение прироста произведения может быть названо нормальным. Название оправдывается тем, что полученное правило разделения остается в силе при любом числе сомножителей, а именно: прирост произведения разделяется между переменными сомножителями пропорционально логарифмам их коэффициентов изменения». Действительно, в случае наличия большего числа сомножителей в анализируемой муль-типликативной модели факторной системы (например, z=xypm) суммарное приращение результативного показателя Δzсоставит

Разложение прироста на факторы достигается за счет ввода коэффициента k, который в случае равенства нулю или взаимного погашения факторов не позволяет использовать указанный метод. Формулу для Δz можно записать иначе:

где

В таком виде эта формула в настоящее время используется как классическая, описывающая логарифмический метод анализа. Из этой формулы следует, что общее приращение результативного показателя распределяется по факторам пропорционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму результативного показателя. При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный ln N или десятичный lg N).

Основным недостатком логарифмического метода анализа является то, что он не может быть «универсальным», его нельзя применять при анализе любого вида моделей факторных систем. Если при анализе мультипликативных моделей факторных систем при использовании логарифмического метода достигается получение точных величин влияния факторов (в случае, когда ), то при таком же анализе кратных моделей факторных систем получение точных величин влияния факторов не удается.

Так, если кратную модель факторной системы представить в виде

то ,

тогда аналогичную формулу можно применять к анализу кратных моделей факторных систем, т. е.

где

Если в кратной модели факторной системы , то при анализе этой модели получим:

Следует заметить, что последующее расчленение фактора Δz’ y методом логарифмирования на факторы Δz’ c и Δz’ q , осуществить на практике не удается, т. к. логарифмический метод в своей сути предусматривает получение логарифмических отношений, которые для расчленяющихся факторов будут примерно одинаковыми. Именно в этом и заключается недостаток описанного метода. Применение «смешанного» подхода в анализе кратных моделей факторных систем не решает проблемы получения изолированного значения из всего набора факторов, оказывающих влияние на изменение результативного показателя. Присутствие приближенных вычислений величин факторных изменений доказывает несовершенство логарифмического метода анализа.

Метод коэффициентов. Этот метод, описанный русским математиком И. А. Белобжецким, основан на сопоставлении числового значения одних и тех же базисных экономических показателей при разных условиях.И. А. Белобжецкий предложил определять величины влияния факторов следующим образом:

Описанный метод коэффициентов подкупает своей простотой, но при подстановке цифровых значений в формулы результат у И. А. Белобжецкого получился правильным лишь случайно. При точном выполнении алгебраических преобразований результат суммарного влияния факторов не совпадает с величиной изменения результативного показателя, полученного прямым расчетом.

Метод дробления приращений факторов.

В анализе хозяйственной деятельности наиболее распространенными являются задачи прямого детерминированного факторного анализа. С экономической точки зрения к таким задачам относится проведение анализа выполнения плана или динамики экономических показателей, при котором рассчитывается количественное зна-чение факторов, оказавших влияние на изменение результативного показателя. С математической точки зрения задачи прямого детерминированного факторного анализа представляют исследование функции нескольких переменных.

Отсюда приращение функции z=f(x, у) можно представить в общем виде следующим образом:

где n – количество отрезков, на которые дробится приращение каждого фактора;

A x n = – изменение функции z = f(x, у) вследствие изменения фактора х на величину ;

A y n = – изменение функции z = f(x, у) вследствие изменения фактора у на величину

Ошибка ε убывает с увеличением n.

Например, при анализе кратной модели факторной системы вида методом дробления приращений факторных признаков получим следующие формулы расчета количественных величин влияния факторов на результирующий показатель:

ε можно пренебречь, если п будет достаточно велико.

Метод дробления приращений факторных признаков имеет преимущества перед методом цепных подстановок. Он позволяет определить однозначно величину влияния факторов при заранее заданной точности расчетов, не связан с последовательностью подстановок и выбором качественных и количественных показателей-факторов. Метод дробления требует соблюдения условий дифференцируемости функции в рассматриваемой области.

Интегральный метод оценки факторных влияний.

Дальнейшим логическим развитием метода дробления приращений факторных признаков стал интегральный метод факторного анализа. Этот метод основывается на суммировании приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. При этом должны соблюдаться следующие условия:

непрерывная дифференцируемость функции, где в качестве аргумента используется экономический показатель;

функция между начальной и конечной точками элементарного периода изменяется по прямой;

постоянство соотношения скоростей изменения факторов

В общем виде формулы расчета количественных величин влияния факторов на изменение результирующего показателя (для функцииz=f(x, у) – любого вида) выводятся следующим образом, что соответствует предельному случаю, когда :

где Гe – прямолинейный ориентированный отрезок на плоскости (x, у), соединяющий точку (х 0 , y 0) с точкой (x 1 , у 1).

В реальных экономических процессах изменение факторов в области определения функции может происходить не по прямолинейному отрезку e, а по некоторой ориентированной кривой. Но т. к. изменение факторов рассматривается за элементарный период (т. е. за минимальный отрезок времени, в течение которого хотя бы один из факторов получит приращение), то траектория кривой определяется единственно возможным способом – прямолинейным ориентированным отрезком кривой, соединяющим начальную и конечную точки элементарного периода.

Выведем формулу для общего случая.

Задана функция изменения результирующего показателя от факторов

Y = f(x 1 , x 2 , ..., х т),

где x j – значение факторов; j = 1, 2, ..., т; у – значение результирующего показателя.

Факторы изменяются во времени, и известны значения каждого фактора в п точках, т. е. будем считать, что в m-мерном пространстве задано п точек:

где x ji – значение j-го показателя в момент i.

Точки M 1 и М п соответствуют значениям факторов на начало и конец анализируемого периода соответственно.

Предположим, что показатель у получил приращение Δy за анализируемый, период; пусть функция y = f(x 1 , x 2 , ..., x m)дифференцируема и f" xj (x 1 , х 2 , ..., х т) – частная производная от этой функции по аргументу x j .

Допустим, Li – отрезок прямой, соединяющий две точки M i и M i+1 (i=1, 2, …, n-1).

Тогда параметрическое уравнение этой прямой можно записать в виде

Введем обозначение

Учитывая эти две формулы, интеграл по отрезку Li можно записать следующим образом:

j = 1, 2,…, m; I = 1,2,…,n-1.

Вычислив все интегралы, получим матрицу

Элемент этой матрицы y ij характеризует вклад j-го показателя в изменение результирующего показателя за период i.

Просуммировав значения Δy ij по таблицам матрицы, получим следующую строку:

(Δy 1 , Δy 2 ,…, Δy j , …, Δy m .);

Значение любого j-го элемента этой строки характеризует вклад j-го фактора в изменение результирующего показателя Δy. Сумма всех Δy j (j = 1, 2, ..., m) составляет полное приращение результирующего показателя.

Можно выделить два направления практического использования интегрального метода в решении задач факторного анализа. К первому направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда не имеется данных об изменении факторов внутри анализируемого периода или от них можно абстрагироваться, т. е. имеет место случай, когда этот период следует рассматривать как элементарный. В этом случае расчеты следует вести по ориентированной прямой. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать статическим, т. к. при этом участвующие в анализе факторы характеризуются неизменностью положения по отношению к одному фактору, постоянством условий анализа измеряемых факторов независимо от нахождения их в модели факторной системы. Соизмерение приращений факторов происходит по отношению к одному выбранному для этой цели фактору.

К статическим типам задач интегрального метода факторного анализа следует относить расчеты, связанные с анализом выполнения плана или динамики (если сравнение производится с предшествующим периодом) показателей. В этом случае данных об изменении факторов внутри анализируемого периода нет.

Ко второму направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда имеется информация об изменениях факторов внутри анализируемого периода и она должна приниматься во внимание, т. е. случай, когда этот период в соответствии с имеющимися данными разбивается на ряд элементарных. При этом расчеты следует вести по некоторой ориентированной кривой, соединяющей точку (х 0 , у 0) и точку (x 1 , y 1) для двухфакторной модели. Задача состоит в том, как определить истинный вид кривой, по которой происходило во времени движение факторов х и y. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать динамическим, т. к. при этом участвующие в анализе факторы изменяются в каждом разбиваемом на участки периоде.

В отличие от цепного метода в интегральном методе действует логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок, что свидетельствует о его больших достоинствах. Этот метод объективен, поскольку исключает какие-либо предположения о роли факторов до проведения анализа. В отличие от других методов факторного анализа при интегральном методе соблюдается положение о независимости факторов.

Важной особенностью интегрального метода факторного анализа является то, что он дает общий подход к решению задач самого разного вида независимо от количества элементов, входящих в модель факторной системы, и формы связи между ними. Вместе с тем в целях упрощения вычислительной процедуры разложения приращения результирующего показателя на факторы следует придерживаться двух групп (видов факторных моделей: мультипликативных и кратных.)

Вычислительная процедура интегрирования одна и та же, а получаемые конечные формулы расчета факторов различны. Формирование рабочих формул интегрального метода для мульти-пликативных моделей. Применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов.

Появляется потребность в формулах расчета влияния факторов для множества видов моделей факторных систем (функций). Выше было установлено, что любую модель конечной факторной системы можно привести к двум видам – мультипликативной и кратной. Это условие предопределяет то, что исследователь имеет дело с двумя основными видами моделей факторных систем, т. к. остальные модели – это их разновидности.

Для облегчения решения задачи построения подынтегральных выражений в зависимости от вида модели факторной системы (мультипликативные или кратные) предложим матрицы исходных значений для – построения подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы. Принцип, заложенный в матрицах, позволяет построить подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для любого набора элементов модели конечной факторной системы. В основном построение подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы – процесс индивидуальный, и в случае, когда число элементов структуры измеряется большим количеством, что в экономической практике является редкостью, исходят из конкретно заданных условий.

Таблица 5.1

Матрица исходных значений для построения подынтегральных выражений элементов структуры мультипликативных моделей факторных систем

Элементы структуры факторной системы	Элементы мультипликативной модели факторной системы							Подынтегральня формула








Подынтегральня формула		y / x = (y 0 +kx) dx	z / x = (z 0 +lx) dx	q / x = (q 0 +mx) dx	p / x = (p 0 +nx) dx	m / x = (m 0 +ox) dx	n / x = (n 0 + px) dx

Приведем пример построения подынтегральных выражений.

Пример:

Вид моделей факторной системы f = x y zq (мультипликативная модель).

Структура факторной системы

Построение подынтегральных выражений

где

Формирование рабочих формул интегрального метода для кратных моделей. Подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для кратных моделей строятся путем ввода под знак интеграла исходного значения, полученного на пересечении строк в зависимости от вида модели и элементов структуры факторной системы с последующей расшифровкой значений, приведенных справа и вниз у матрицы исходных значений.

В случае отсутствия универсальных вычислительных средств предложим чаще всего встречающийся в экономическом анализе набор формул расчета элементов структуры для мультипликативных и кратных моделей факторных систем, которые были выведены в результате выполнения процесса интегрирования. Учитывая потребность наибольшего их упрощения, выполнена вычислительная процедура по сжатию формул, полученных после вычисления определенных интегралов (операции интегрирования).

Приведем пример построения рабочих формул расчета элементов структуры факторной системы.

Пример:

Вид модели факторной системы f = xyzq (мультипликативная модель).

Структура факторной системы

Рабочие формулы расчета элементов структуры факторной системы:

Рейтинговый анализ - один из вариантов проведения комплексной оценки финансового состояния предприятия. Рейтинговый анализ представляет собой метод сравнительной оценки деятельности нескольких предприятий. Суть рейтинговой оценки заключается в следующем: предприятия выстраиваются (группируются) по определенным признакам или критериям.

Признаки или критерии отражают или отдельные стороны деятельности предприятия (рентабельность, платежеспособность и прочее) или характеризуют предприятия в целом (объем продаж, объем рынка, надежность).

При проведении рейтингового анализа выделяется два основных метода: экспертный и аналитический. Основу экспертного метода составляет опыт и квалификация экспертов. Эксперты на основании доступной информации, по своим методикам проводят анализ предприятия. При анализе учитываются как количественные, так и качественные характеристики предприятия.

В отличие от экспертного метода, аналитический метод базируется только на количественных показателях . Анализ проводится по формализованным методикам расчета. При применении аналитического метода можно выделить три основных этапа:

первичная «фильтрация» предприятий. На этом этапе отсеиваются предприятия, про которые с большой долей вероятности можно сказать, что отчетность у них вызывает большие подозрения;

расчет коэффициентов, по заранее утвержденной методике;

Существует несколько недостатков, снижающих эффективность применения рейтингового анализа при определении финансового состояния предприятия:

Достоверность информации, на которой основывается рейтинг. Рейтинговый анализ проводится независимыми агентствами на основе публичной, официальной отчетности предприятия. Официальной отчетностью, которую публикуют предприятия в СМИ, является баланс. Несовершенство российской системы бухгалтерского учета, пробелы в российском финансовом законодательстве, большой объем теневой экономики - все это не позволяют в полной мере доверять официальной отчетности предприятий. Частично решить эту проблему может проведение аудита отчетности предприятия.

Несвоевременность рейтингового анализа. Как правило, рейтинг рассчитывается на основании баланса за год. Годовые балансы сдаются до 31 марта года следующего за отчетным. Затем необходимо некоторое время на составление рейтинга. Таким образом, рейтинг появляется на основании информации, которая была актуальна 3-4 месяца назад. За это время состояние предприятия могло существенно изменится.

Субъективность мнения экспертов (при экспертном методе рейтингового анализа). Сложно формализовать мнения экспертов, а от них в значительной степени зависит положение предприятия в рейтинге.

Наиболее полное и детальное исследование деятельности предприятия для присвоения ему рейтинговой оценки может быть осуществлено сотрудниками предприятия. Так как помимо официальной информации, они могут воспользоваться внутренней информацией . Однако работники предприятия могут быть субъективны в оценки деятельности и не всегда достаточно компетентны для проведения такого анализа.