Литература 1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.– М.: Наука, Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

Немного истории от манипуляции предметами к манипуляциям понятиями о предметах замена изучаемого объекта, процесса или явления более простым и доступным для исследования эквивалентом невозможность учесть всю совокупность факторов, определяющих свойства и поведение объекта

Роль моделей Здание – некрасивое, непрочное или не вписывается в окружающий пейзаж Демонстрация систем кровообращения на натуре негуманна Напряжения, например в крыльях, могут оказаться слишком велики Собирать электрические цепи для измерений неэкономично

Связь модели с оригиналом Создание модели предполагает сохранение каких - то свойств оригинала, причем в разных моделях эти свойства могут быть разными. Здание из картона много меньше настоящего, но позволяет судить о его внешнем виде; плакат делает понятной систему кровообращения, хотя ничего общего не имеет с органами и тканями; макет самолета не летает, но напряжения в его корпусе соответствуют условиям полета.

Почему используют модели? 1.Модель доступнее для исследования, чем реальный объект, 2.Исследовать модель проще и дешевле, чем реальные объекты, 3.некоторые объекты невозможно изучать непосредственно: пока невозможно, например, построить устройство для термоядерного синтеза или провести эксперименты в недрах звезд, 4.невозможны эксперименты с прошлым, недопустимы эксперименты с экономикой или социальные эксперименты

Назначение моделей 1.С помощью модели можно выявить наиболее существенные факторы, формирующие свойства объекта. Поскольку модель отражает только некоторые характеристики объекта - оригинала, то, варьируя набор этих характеристик в составе модели, можно определить степень влияния тех или иных факторов на адекватность поведения модели

Модель нужна: 1.Для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром. 2.Для того, чтобы научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях. 3.Для того, чтобы прогнозировать поведение объекта и оценить последствия различных способов и форм воздействия на объект (метеорологические модели, модели развития биосферы).

Свойство правильной модели Правильно построенная, хорошая модель обладает замечательным свойством: ее изучение позволяет получить новые знания об объекте - оригинале, несмотря на то, что при создании модели использовались только некоторые основные характеристики оригинала

Материальное моделирование Модель воспроизводит основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта, когда реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с последующим перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия (планетарий, модели зданий и аппаратов и т. д.). Процесс исследования в таком случае тесно связан с материальным воздействием на модель, т. е. состоит в натурном эксперименте. Таким образом, материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом.

Типы идеального моделирования Интуитивное – моделирование объектов, не поддающихся формализации или не нуждающихся в ней. Жизненный опыт человека можно считать его интуитивной моделью окружающего мира Знаковое – моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования разного вида: схемы, графики, чертежи, формулы и т. д. и содержащее совокупность законов, по которым можно оперировать с элементами модели

Математическое моделирование исследование объекта осуществляют на основе модели, сформулированной на языке математики и исследуемой с помощью тех или иных математических методов Математическое моделирование – это область науки, занимающаяся моделированием явлений природы, техники, экономической и общественной жизни с помощью математического аппарата и, в настоящее время, реализующая эти модели с помощью ЭВМ

Классификация мат. моделей По назначению: дескриптивные оптимизационные имитационные По характеру уравнений: линейные нелинейные По учету изменения системы во времени: динамические статические По свойству области определения аргументов: непрерывные дискретные По характеру процесса: детерминированные стохастические

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Математическая модель - математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования. Общие сведения

3 слайд

Описание слайда:

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты. По Ляпунову, математическое моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель), находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определенных отношениях и дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте. В других вариантах, математическая модель определяется как объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала, как «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям», как систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого, исследование которых средствами математики должно ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира, как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе. Определения

4 слайд

Описание слайда:

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий: Линейные или нелинейные модели; Сосредоточенные или распределённые системы; Детерминированные или стохастические; Статические или динамические; Дискретные или непрерывные и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д. Формальная классификация моделей

5 слайд

Описание слайда:

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта: Структурные или функциональные модели. Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика». Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика». Математические модели сложных систем можно разделить на три типа: Модели типа чёрный ящик (феноменологические), Модели типа серый ящик (смесь феноменологических и механистических моделей), Модели типа белый ящик (механистические, аксиоматические). Схематическое представление моделей типа чёрный ящик, серый ящик и белый ящик Классификация по способу представления объекта

6 слайд

Описание слайда:

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется. Содержательные и формальные модели

7 слайд

Описание слайда:

В работе Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели. Гипотеза Модели первого типа - гипотезы («такое могло бы быть»), «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва. Модели-гипотезы в науке не могут быть доказаны раз и навсегда, можно лишь говорить об их опровержении или неопровержении в результате эксперимента. Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть только временным. Феноменологическая модель Второй тип - феноменологическая модель («ведем себя так, как если бы…»), содержит механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен, и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц. Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа, и те могут быть переведены во второй. Содержательная классификация моделей

8 слайд

Описание слайда:

Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки. Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании. Приближение Третий тип моделей - приближения («что-то считаем очень большим или очень малым»). Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома. Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это - модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4. Упрощение Четвёртый тип - упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), в такой отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) - это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей (то есть не производится линеаризация нелинейных уравнений, а просто ищутся линейные уравнения, описывающие объект), то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4 (все нелинейные детали «для ясности» опускаем). Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, Содержательная классификация моделей (продолжение)

9 слайд

Описание слайда:

очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям четвёртого типа. Эвристическая модель Пятый тип - эвристическая модель («количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела»), такая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример - приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины. Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта - модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте. Аналогия Тип шестой - модель-аналогия («учтём только некоторые особенности»). Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье Гейзенберга о природе ядерных сил. Мысленный эксперимент Седьмой тип моделей - мысленный эксперимент («главное состоит в опровержении возможности»). Такой тип моделирования часто использовался Эйнштейном, в частности, один из таких экспериментов привёл к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчёта, либо скорость света не зависит от системы отсчёта, и выбрал второй вариант. Демонстрация возможности Восьмой тип - демонстрация возможности («главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности»), такого рода модели тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципами и Содержательная классификация моделей (продолжение)

10 слайд

Описание слайда:

внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия. Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского. (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией».) Другой пример - массовое производство формально-кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как мысленный эксперимент для демонстрации противоречивости квантовой механики, но незапланированным образом со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации. В основе содержательной классификации - этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании. Содержательная классификация моделей (продолжение)

11 слайд

Описание слайда:

12 слайд

Описание слайда:

фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»). Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»). Пример (продолжение)

13 слайд

Описание слайда:

14 слайд

Описание слайда:

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U-образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «общей теории систем». Универсальность моделей

15 слайд

Описание слайда:

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы. Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический железнодорожный мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул. В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения. Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных Прямая и обратная задачи математического моделирования

«Системный подход в моделировании» - Процесс - динамическое изменение системы во времени. Система - совокупность взаимосвязанных элементов, образующих целостность или единство. Питер Фердинанд Дракер. Системный подход в организациях. Системный подход как основа введения профильного обучения. Основоположники системного подхода: Структура- способ взаимодействия элементов системы посредством определенных связей.

«ISO 20022» - Элементы методологии международного стандарта. Сопоставление состава и свойств. Назначение. Процесс моделирования. Особенности методологии. Результаты моделирования. Открытость и развитие. Миграция. Название Международного стандарта. Аспекты универсальности. Инструментарий. Деятельность. Состав документов.

«Понятие модели и моделирования» - Виды моделей по отраслям знаний. Виды моделей. Основные понятия. Виды моделей в зависимости от времени. Виды моделей в зависимости от внешних размеров. Адекватность моделей. Образно-знаковые модели. Необходимость создания моделей. Моделирование. Модели моделирование.

«Модели и моделирование» - Изменение размеров и пропорций. Математическая модель- модель, представленная на языке математических отношений. Блок-схема- одна из специальных разновидностей графа.. Анализ объекта. Структурная модель- преставление информационной знаковой модели в виде структуры. Реальное явление. Абстрактное. Вербальные.

«Этапы разработки модели» - Описательные информационные модели обычно строятся с использованием естественных языков и рисунков. Построение описательной информационной модели. Основные этапы разработки и исследования моделей на компьютере. 4 этап. 1 этап. 5 этап. Модель солнечной системы. Практическое задание. 3 этап. 2 этап.

«Моделирование как метод познания» - В биологии – классификация животного мира. Определения. Определение. В физике – информационная модель простых механизмов. Моделирование как метод познания. Формы представления информационных моделей. Табличная модель. Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков называется формализацией.

Всего в теме 18 презентаций

1 из 16

Презентация на тему: Математические модели (7 класс)

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

§ 2.4. Математические модели Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.Математическая модель - информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме.

№ слайда 3

Описание слайда:

№ слайда 4

Описание слайда:

№ слайда 5

Описание слайда:

Математическое моделирование Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей. К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель).

№ слайда 6

Описание слайда:

При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики.Пример: нужно определить площадь поверхности стола. Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой. Из всех свойств стола выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется. Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, легко указать исходные данные и результат. Они связаны соотношением S=ab.

№ слайда 7

Описание слайда:

Рассмотрим пример приведения решения конкретной задачи к математической модели. Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драгоценностями. Даны некоторые предположения о формах сундука и окнах иллюминатора и исходные данные решения задачи. Предположения:Иллюминатор имеет форму круга. Сундук имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Исходные данные: D - диаметр иллюминатора; x - длина сундука; y - ширина сундука; z - высота сундука. Конечный результат: Сообщение: можно или нельзя вытащить.

№ слайда 8

Описание слайда:

Системный анализ условия задачи выявил связи между размером иллюминатора и размерами сундука, учитывая их формы. Полученная в результате анализа информация отобразилась в формулах и соотношениях между ними, так возникла математическая модель.Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом:

№ слайда 9

Описание слайда:

Пример 1:Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале. Для решения задачи нужно знать площадь пола. Для выполнения этого задания измеряют длину, ширину пола и вычисляют его площадь. Реальный объект – пол зала – занимается прямоугольником, для которого площадь является произведением длины на ширину. При покупке краски выясняют, какую площадь можно покрыть содержимым одной банки, и вычисляют необходимое количество банок.Пусть A – длина пола, B - ширина пола, S1 - площадь, которую можно покрыть содержимым одной банки, N – количество банок. Площадь пола вычисляем по формуле S=A×B, а количество банок, необходимых для покраски зала, N= A×B/S1.

№ слайда 10

Описание слайда:

Пример 2:Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы?Решение:Обозначим время заполнения бассейна через первую и вторую трубу А и В соответственно. Примем за 1 весь объём бассейна, искомое время обозначим через t. Так как через первую трубу бассейн наполняется за А часов, то 1/А –часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час; 1/В - часть бассейна, наполняемая второй трубой за 1 час.Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1/А+1/В.Можно записать: (1/А+1/В)t=1. получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб. Искомое время можно вычислить по формуле:

№ слайда 11

Описание слайда:

Пример 3:На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч.Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.За t часов мотоциклист проедет 50t км и будет находится от А на расстоянии 50t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: S=50t + 20, где t>0.Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: было у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8, у Андрея 1,5х+8. По условию задачи 1,5х+8=2(х-8).

№ слайда 12

Описание слайда:

Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: было у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8, у Андрея 1,5х+8. По условию задачи 1,5х+8=2(х-8). Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: во втором цехе работают x человек, в первом – 4х, а в третьем - х+50. х+4х+х+50=470. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: первое число х; второе х+2,5. По условию задачи х/5=(х+2,5)/4.

№ слайда 13

Описание слайда:

Описание слайда:

Источники Информатика и ИКТ: учебник для 7 классаАвтор: Босова Л. Л. Издательство: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009 Формат: 60x90/16 (в пер.), 229 с., ISBN: 978-5-9963-0092-1http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (графики, схемы)http://images.yandex.ru (картинки)

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математические модели

05.05.17 Математические модели Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Математическая модель - информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме.

05.05.17 Например, известное уравнение S=vt, где S - расстояние, v - скорость t - время, представляет собой модель равномерного движения, выраженную в математической форме.

05.05.17 Рассматривая физическую систему: тело массой m , скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F , Ньютон получил соотношение F = mа. Это математическая модель физической системы.

05.05.17 Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей. К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). Математическое моделирование

05.05.17 При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики. Пример: нужно определить площадь поверхности стола. Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой. Из всех свойств стола выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется. Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, легко указать исходные данные и результат. Они связаны соотношением S = ab .

05.05.17 Рассмотрим пример приведения решения конкретной задачи к математической модели. Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драгоценностями. Даны некоторые предположения о формах сундука и окнах иллюминатора и исходные данные решения задачи. Предположения: Иллюминатор имеет форму круга. Сундук имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Исходные данные: D - диаметр иллюминатора; x - длина сундука; y - ширина сундука; z - высота сундука. Конечный результат: Сообщение: можно или нельзя вытащить.

05.05.17 Если, то сундук можно вытащить, а если, то нельзя. Системный анализ условия задачи выявил связи между размером иллюминатора и размерами сундука, учитывая их формы. Полученная в результате анализа информация отобразилась в формулах и соотношениях между ними, так возникла математическая модель. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом:

05.05.17 Пример 1: Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале. Для решения задачи нужно знать площадь пола. Для выполнения этого задания измеряют длину, ширину пола и вычисляют его площадь. Реальный объект – пол зала – занимается прямоугольником, для которого площадь является произведением длины на ширину. При покупке краски выясняют, какую площадь можно покрыть содержимым одной банки, и вычисляют необходимое количество банок. Пусть A – длина пола, B - ширина пола, S 1 - площадь, которую можно покрыть содержимым одной банки, N – количество банок. Площадь пола вычисляем по формуле S = A×B , а количество банок, необходимых для покраски зала, N = A×B / S 1 .

05.05.17 Пример 2: Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы? Решение: Обозначим время заполнения бассейна через первую и вторую трубу А и В соответственно. Примем за 1 весь объём бассейна, искомое время обозначим через t. Так как через первую трубу бассейн наполняется за А часов, то 1/А –часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час; 1/В - часть бассейна, наполняемая второй трубой за 1 час. Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1/А+1/В. Можно записать: (1/А+1/В) t =1 . получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб. Искомое время можно вычислить по формуле:

05.05.17 Пример 3: На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч. Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов. За t часов мотоциклист проедет 50 t км и будет находится от А на расстоянии 50 t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: S=50t + 20 , где t>0 .

05.05.17 Первое число равно x , а второе на 2,5 больше первого. Известно, что 1/5 первого числа равна 1/4 второго. Составьте математические модели данных ситуаций: У Миши x марок, а у Андрея в полтора раз больше. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши. Во втором цехе работают x человек, в первом – в 4 раза больше, чем во втором, а в третьем - на 50 человек больше, чем во втором. Всего в трех цехах завода работают 470 человек. Проверим: Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: б ыло у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8 , у Андрея 1,5х+8 . По условию задачи 1,5х+8=2(х-8). Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: во втором цехе работают x человек, в первом – 4х, а в третьем - х+50 . х+4х+х+50=470. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: первое число х; второе х+2,5 . По условию задачи х/5=(х+2,5)/4.

05.05.17 Вот так обычно применяется математика к реальной жизни. Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в разобранных выше примерах), но и в другом виде: табличные, графические и другие. С другими видами моделей мы познакомимся на следующем занятии.

05.05.17 Задание на дом: § 9 (стр. 54-58) № , 2, 4 (стр. 60) в тетради

05.05.17 Спасибо за урок!

05.05.17 Источники Информатика и ИКТ: учебник для 8 класса http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (графики, схемы) http://images.yandex.ru (картинки)