5. Матрицы последствий и матрицы рисков
Понятие риска предполагает наличие рискующего; будем называть его Лицом, Принимающим Решения (ЛПР).
Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции в условиях неопределенности. При этом у ЛПР есть несколько возможных решений i = 1,2,...,т, а реальная ситуация неопределенна и может принимать один из вариантов j = 1,2,..., n . Пусть известно, что если ЛПР примет i - e решение, а ситуация примет j- ый вариант, то будет получен доход q ij . Матрица Q = (q ij) называется матрицей последствий (возможных решений).
Оценим размеры риска в данной схеме.
Пусть принимается i - е решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет j -я, то ЛПР принял бы решение, дающее доход q j = . Однако, i - е решение принимается в условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить не q j , а только q ij . Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск r ij , размер которого целесообразно оценить как разность
r ij = q j - q ij . (2.1)
Матрица R = (r ij ) называется матрицей рисков .
Пример 2.1 . Используя формулу (2.1), составьте матрицу рисков
R = (r ij ) по заданной матрице последствий
.
Решение
.
Очевидно, q
1
=
=
8; аналогично q
2
= 5, q
3
= 8, q
4
= 12 . Следовательно, матрица рисков имеет
вид
.
6. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности
Полная неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды (“природы”), например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). Рассмотрим основные из них.
Критерий
(правило) максимакса.
По этому критерию определяется вариант
решения, максимизирующий максимальные
выигрыши - например, доходы – для каждого
варианта ситуации. Это критерий крайнего
(“розового”) оптимизма
,
по которому наилучшим является решение,
дающее максимальный выигрыш, равный
.
Рассматривая i
-
е
решение, предполагают самую хорошую
ситуацию, приносящую доход
,
а затем выбирают решение с наибольшимa
i
.
Пример 2.2. Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию максимакса.
Решение.
Находим последовательность значений
:a
1
=8,
a
2
=12,
a
3
=10,
a
4
=8.
Из этих
значение находим наибольшее: a
2
=12
.
Следовательно, критерий максимакса
рекомендует принять второе решение
(i
=2
).
Правило
Вальда
(правило максимина, или критерий крайнего
пессимизма).
Рассматривая i-e
решение, будем полагать, что на самом
деле ситуация складывается самая плохая,
т.е. приносящая самый малый доход: b i
=
min
q ij .
Но теперь выберем решение i
0
с наибольшим
.
Итак, правило Вальда рекомендует принять
решение
i
0
такое, что
=
=
.
Пример 2.3. Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию Вальда.
Решение. В примере 2.1 имеем b 1 = 2, b 2 = 2, b 3 = 3, b 4 = 1. Теперь из этих значений выбираем максимальное b 3 = 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение (i =3 ).
Правило
Сэвиджа
(критерий минимаксного риска).
Этот критерий аналогичен предыдущему
критерию Вальда, но ЛПР принимает
решение, руководствуясь не матрицей
последствий Q,
а матрицей рисков R
= (r ij).
По этому критерию лучшим является
решение, при котором максимальное
значение риска будет наименьшим, т.е.
равным
.
Рассматривая i-e
решение, предполагают ситуацию
максимального риска r i =
и выбирают
вариант решения i 0
с наименьшим
=
=
.
Пример 2.4. Для исходных данных в примере 2.1 выбрать вариант решения в соответствии с критерием Сэвиджа.
Решение
.
Рассматривая матрицу рисков R,
находим последовательность величин r i
=
: r 1
= 8,
r 2
=
6, r 3
=
5, r 4
=
7. Из этих
величин выбираем наименьшую: r 3
=
5. Значит,
правило Сэвиджа рекомендует принять
3-е решение (i
=3
).
Заметит, что это совпадает с выбором по
критерию Вальда.
Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). По данному критерию выбирается вариант решения, при котором достигается максимум выражения c i = {λminq ij + (1 – λ)maxq ij }, где 0 λ1. Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом . При λ=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при λ=1 он совпадает с критерием Вальда. Значение λ выбирается из субъективных (интуитивных) соображений.
Пример 2.5. Для приведенной в примере 2.1 матрицы последствий выбрать наилучший вариант решения на основе критерия Гурвица при λ =1/2.
Решение. Рассматривая матрицу последствий Q по строкам, для каждого i вычисляем значения c i = 1/2minq ij + 1/2maxq ij . Например, с 1 =1/22+1/28=5; аналогично находятся с 2 =7; с 3 =6,5; с 4 = 4,5. Наибольшим является с 2 =7. Следовательно, критерий Гурвица при заданном λ =1/2 рекомендует выбрать второй вариант (i =2 ).